半黎曼卷积流形中类空超曲面的研究
【类型】学位论文
【作者】王文杰
【摘要】1915年,S. Bernstein证明了如下著名定理：三维欧式空间R3上的整体极小图一定是二维平面.这个定理在Lorentz-Minkowski空间Ln中的对应情形由ECalabi在1970年证明,即,Ln(n≤4)上的整体极大超曲面一定是超平面.以上两个重要结果在高维欧式空间和高维Lorentz-Minkowski空间上的推广被称为Bernstein-型问题.历史上,国内外许多著名学者都曾研究过这个问题并得到了丰富的结果.最近二十年来,由于A. J. Alias和S. Montiel等人对半黎曼卷积流形和半黎曼空间型的类空超曲面上的一些重要问题得到了一些突破性进展,许多学者开始关注并研究此类问题.本文主要研究半黎曼卷积流形的类空超曲面上的一类Bernstein-型定理,通过考虑卷积函数的积分的Laplacian,使用丘成桐有关完备流形上调和函数的一些结果,给出了一类Bernstein-型问题的解,推广了已有的结果.本文主要章节内容简介如下.第一章是绪论,我们在第一节首先阐述了欧式空间Rn和Lorentz-Minkowski空间Ln上的Bernstein-型问题的历史背景,然后在第二节对最近几年来半黎曼卷积流形的类空超曲面上的Bernstein-型问题的一些最新研究结果进行了简要介绍,最后一节我们简单介绍了本文得到的主要结果.第二章是准备知识,我们首先回顾了黎曼流形上的一些基本概念和定理,然后在第二节给出了证明本文的主要定理所需要的一些子流形几何基础知识.最后一节给出了半黎曼卷积流形及其上的类空超曲面等一些基本知识.第三章是本文的核心章节,我们主要研究了半黎曼卷积流形上的Bernstein-型问题.第一节给出了证明本章主要结果所要用到的一些重要引理,然后在第二节首先给出了广义Robertson-Walker时空的类空超曲面上的一类Bernstein-型定理,即,设Ψ：Σ→1×f Mn是广义Robertson-Walker时空上的完备连通类空超曲面,若∑n的平均曲率H满足且▽h在∑n上有可积的范数,则Σn是I×fMn的切片.对应地,在第三节我们也在黎曼卷积流形上考虑了类似问题的对偶情形,即,设是黎曼卷积流形上的完备连通类空超曲面且其平均曲率H满足若Vh在∑n上有可积的范数,则Σn是I×fMn的切片.最后一节我们对本章进行了总结,比较本章主要结果和他人的
【学位授予单位】华南理工大学
【学位年度】2014
【导师姓名】刘西民
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